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Enigmi matematici

ENIGMI MATEMATICI

IL PANIERE DI UOVA
Un commerciante vende un paniere di uova:
• il primo cliente compera mezzo paniere più mezzo uovo;
• il secondo cliente prende metà di ciò che è rimasto più mezzo uovo;
• anche il terzo cliente prende metà di ciò che è rimasto più mezzo uovo.
A questo punto il commerciante resta con il paniere completamente vuoto.
Quante uova aveva all’inizio?
Quante uova avrebbe avuto all’inizio se fosse rimasto senza uova dopo n clienti?


PAROLA D’ORDINE
Un agente segreto, abilmente nascosto dietro un cespuglio, osserva l’ingresso del covo dei banditi per cercare di capire la regola per entrare.
Arriva un tizio e bussa al portone: una voce gli dice “24”, lui risponde “12” e gli viene aperto; ne arriva un altro, la voce gli dice “12”, lui risponde “6” e gli viene aperto”; ne arriva un terzo, la voce gli dice “10”, lui risponde “5” e gli viene aperto; ne arriva un altro, la voce gli dice “8”, lui risponde “4” e gli viene aperto; ne arriva ancora uno, la voce gli dice “6”, lui risponde “3”.
L’agente segreto è ormai certo di aver capito tutto, si avvicina al portone, bussa e la voce gli dice “4”. Costui, sicuro, risponde “2” ma anziché aprirgli gli sparano.
Cosa avrebbe dovuto rispondere?


REGOLA DI ACCRESCIMENTO
1
1 1
2 1
1 2 1 1
1 1 1 2 2 1
3 1 2 2 1 1
1 3 1 1 2 2 2 1
1 1 1 3 2 1 3 2 1 1
?
Qual è il prossimo termine di questa sequenza? O meglio, qual è la regola di accrescimento?

SOLUZIONI

IL PANIERE DI UOVA
Il problema è veramente molto semplice, si tratta solo di trovare il modo giusto per affrontarlo; prima di stupirci di queste strane vendite potremmo dedurre che la soluzione è un numero dispari in quanto non risulta plausibile che un commerciante faccia a pezzi le sue uova prima di venderle. In questo, come del resto in molti altri problemi, la via più semplice è quella che parte dalla fine e dunque consideriamo l’ultimo passaggio: il commerciante vende mezzo paniere più mezzo uovo e resta senza uovo; evidentemente mezzo uovo corrisponde a mezzo paniere, cioè il venditore aveva solamente un uovo nel paniere:
X/2 – 1/2 = 0 da cui X = 1
A questo punto il gioco è fatto: dall’ultimo passaggio si può risalire ai precedenti semplicemente applicando il procedimento inverso a quello descritto nel testo, cioè ogni volta si aggiunge 1/2 e si moltiplica per 2:
X(1) = (0+1/2)x2 = 1
X(2) = (1+1/2)x2 = 3
X(3) = (3+1/2)x2 = 7
La prima risposta è quindi 7. Ma questi problemini sono interessanti anche perché permettono spesso una generalizzazione. Se i passaggi fossero stati non 3 ma n, seguendo il procedimento proposto si sarebbero dovuti fare n passaggi a ritroso è facile però ricavare una formuletta generale che ci permette di non fare troppi calcoli; infatti notiamo che:
X(1) = 1 = 21-1
X(2) = 3 = 22-1
X(3) = 7 = 23-1

da cui: X(n) = 2n-1

PAROLA D’ORDINE
Avrebbe dovuto rispondere “7”. La regola è infatti: detto un numero rispondere col numero di lettere del suo nome e “quattro” è una parola di 7 lettere.

REGOLA DI ACCRESCIMENTO
Il prossimo termine della sequenza è
31131211131221
La regola è che ogni riga “descrive“ la riga precedente: la seconda riga dice che nella prima c’è “un 1”; la terza dice che nella seconda ci sono “due 1”, la quarta che nella terza ci sono “un 2 e un 1”;, la quinta “un 1, un 2 e due 1”, e così via.

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