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Gioco e matematica

GIOCO E MATEMATICA

“TEOREMA DELLA ROVINA DEL GIOCATORE”

Giochiamo di 1.000 lire a “testa e croce”: chi indovina ne intasca 2.000. Il gioco è equo: l’intero ammontare delle giocate viene ridistribuito. Ma i giochi d’azzardo non sempre sono equi: chi li organizza deve pur avere il suo tornaconto. Il problema è quanto. Uno dei più equi è certamente la roulette; il banco si tiene soltanto una commissione che non supera mai il 2,7%: ad esempio vincendo un pieno SI riceve 35 volte la posta anziché 36. In sostanza per ogni 1.000 lire puntate ne vengono rimesse in gioco ben 973. Ma com’è allora che alla roulette ci si può rovinare? La risposta concerne l’accanimento al gioco e la disponibilità economica dei giocatori. Poi vedremo. Ora veniamo al lotto, che assomiglia più ad una truffa che ad un gioco. L’appellativo di “tassa sull’ignoranza” se l’è meritato perché l’“iniquità” varia da puntata a puntata e i più “ignoranti” possono scegliere combinazioni più svantaggiose. Vediamo per ogni 1.000 lire giocate quante lo stato biscazziere ne restituisce in alcune combinazioni: estratto semplice con un numero = 680; ambo con 2 numeri = 628; terno con 3 numeri = 346; quaterna con 4 numeri = 157; cinquina con 5 numeri = 23. Non è un errore di stampa! Su 1.000 lire per una cinquina ne ritornano ventitre! Come giocare così a testa e croce: se perdete, perdete 1.000 lire, se vincete, vincete 23 lire. Giochereste a queste condizioni? Per fortuna conoscendo il gioco e scegliendo oculatamente puntate più complesse, è possibile ridurre sensibilmente il vantaggio del banco: meglio però affidarsi ai programmi per PC anziché ai numeri “sognati”! Partendo da questi argomenti Paolo Garbolino nel suo I giochi d’azzardo (Il saggiatore, Due Punti, Milano, 1998, pp.126) arriva a considerazioni ben più profonde. Con tutto il suo rigore di logico e filosofo della scienza, Garbolino svela i meccanismi e i teoremi del ragionamento probabilistico e ci aiuta a decidere quali siano le azioni più vantaggiose, anche nella vita di tutti i giorni.
Torniamo alla domanda : se la roulette è equa come può diventare la rovina di molti? Garbolino dice che è per il Teorema della rovina del giocatore, che dimostra come il giocatore più ricco abbia maggiori probabilità di mandare sul lastrico il più povero. Illuminante l’esempio del gioco equo di testa e croce. Si puntano 1.000 lire alla volta, il giocatore A dispone complessivamente di 2.000 lire ed il giocatore B di 3.000 lire; la partita va avanti fino a che uno dei due perde tutto. È facile dimostrare che il 60% delle volte è B (il giocatore più ricco) ad intascare tutte le 5.000 lire. A maggior ragione ciò vale per i giochi sbilanciati a favore del più ricco (il banco) e ancora di più quando il giocatore ricco è molto più ricco dell’altro. Esistono però persone ricchissime che potrebbero facilmente tener testa ad un Casinò, ma i Casinò si tutelano fissando un tetto massimo alle puntate. In sostanza ad ogni singola puntata il giocatore subisce uno sfavore di probabilità del tutto ragionevole, ma è l’accanimento che porta ai limiti delle proprie disponibilità. Le grandi passioni hanno sempre ispirato grandi autori, e la passione per il gioco d’azzardo non fa eccezione; sul tema sono stati scritti veri capolavori della letteratura; il più noto è Il giocatore, un romanzo largamente autobiografico che Dostoevskij ha scritto nel periodo più disperato della sua vita: l’abbandonarsi incondizionatamente alle passioni (amorose e per il gioco) diventa nella vicenda la massima forma di autorealizzazione. Molto intrigante anche Il giocatore fortunato, un racconto breve in cui Hoffmann erge la “Fortuna” e il suo mutare a protagonista assoluto: è il gioco che simboleggia lo scontro fra destino e libero arbitrio.

“MARIENBAD”

Il film L’anno scorso a Marienbad per la regia di Alain Resnais fu Leone d’oro a Venezia nel 1961 e narra del dramma dell’incomunicabilità. Varie sequenze sono dedicate ad un gioco per due persone che si fa con i fiammiferi. Chi lo propone (Giorgio Albertazzi) vince sempre e gli avversari non sanno darsene ragione. Si tratta del Nim, oggi noto anche come Marienbad, proprio in seguito al film. Varie file di fiammiferi stanno una sotto l’altra; lo schema classico (proposto anche nel film) è composto da quattro file, una di 7, una di 5, una di 3 e una di un fiammifero.

A turno i giocatori prelevano uno o più fiammiferi da una stessa fila: chi prende l’ultimo fiammifero vince la partita. (Si può anche giocare al contrario: chi prende l’ultimo fiammifero perde.) Dopo poche partite ci si accorge che si possono raggiungere alcune configurazioni vincenti; se ad es. dopo una mossa si lasciano all’avversario 2 file da 2 fiammiferi, si ha vinto (provate!). Un’altra configurazione vincente è 1 fiammifero su una fila, 2 su un’altra e 3 su una terza.

Naturalmente al posto dei fiammiferi si può usare qualsiasi altro oggetto (ad esempio monete) e si può giocare con un qualunque numero di file, composte da un qualunque numero di oggetti. Ad esempio una configurazione “classica” è quella a “3, 4 e 5”

Il primo giocatore vince sempre se alla prima mossa prende due fiammiferi dalla riga superiore e in seguito gioca razionalmente.
La “soluzione” generale del gioco fu scoperta nel secolo scorso e la prima trattazione matematica fu fatta nel 1910 all’università di Harward dal Prof. Bouton, che diede anche il nome di Nim al gioco (in arabo arcaico Nim significa “portar via”). Il numero di fiammiferi di ogni fila viene scritto in notazione binaria (mi perdonino coloro che non ne hanno familiarità): se ognuna delle colonne formate dai numeri in notazione binaria dà per totale un numero pari (o zero) la posizione è vincente. Consideriamo ad esempio la citata posizione 1-2-3: in notazione binaria l’1 è 1, il 2 è 10 e il 3 è 11. Mettendo in colonna e sommando 1, 10 e 11 otteniamo 22, cioè tutte e 2 le cifre sono pari e la posizione è vincente.

1 = 1
2 = 10
3 = 11
__
22

Applichiamo ora l’analisi binaria al Nim a “3, 4 e 5”

3 = 11
4 = 100
5 = 101
___
212

La colonna intermedia ha come totale 1 e la posizione deve essere resa “vincente” rendendola pari, cioè togliendo come detto 2 fiammiferi dalla prima colonna.
Sembra difficile ma con un po’ di pratica anche l’analisi di posizioni ben più complesse, può diventare accessibile. E’ stato infatti dimostrato che, data una qualunque situazione, esiste sempre almeno una mossa che la può trasformare in una posizione vincente.

“DADI E PROBABILITÀ”

La Teoria delle Probabilità è nata per risolvere giochi aleatori.
IL DOPPIO 1 TIRANDO 8 DADI
Gli studi di Pascal e Fermat
Polterdice è un gioco di Spartaco Albertarelli edito da Kidult Games. Uno dei meccanismi principali consiste nel lancio contemporaneo di 8 dadi e nell’uscita o meno di almeno due 1 (cioè che tra gli otto esiti almeno due siano 1). Il calcolo non solo è importante per determinare la corretta strategia di gioco, ma è anche secondo me divertente di per sé. E del resto il calcolo delle probabilità nasce proprio dai tentativi di soluzione di giochi aleatori. In particolare nel 1654 Blaise Pascal si imbatté in un problema per certi versi molto simile a quello citato, e cioè: “Gettando un dado 8 volte, un giocatore deve tentare di fare 1, ma dopo 3 tentativi non riusciti il gioco viene interrotto. In che misura ha diritto alla posta?” Pascal ne scrisse a Pierre de Fermat e quella corrispondenza fra i due grandi matematici (e non solo) è considerata, precedenti ricerche di Gerolamo Cardano a parte, l’inizio della moderna Teoria delle Probabilità; e la prima sistematizzazione è del 1657, opera di Christiaan Huygens col suo trattatelo “De ratiociniis in ludo aleae” (Sui ragionamenti nel giuoco dei dadi). Insomma probabilità e gioco sono connessi indissolubilmente.
Ma torniamo al problema che vi avevo proposto: quali sono le probabilità che lanciando 8 dadi ci siano almeno due 1? Ci siete riusciti? Eccovi comunque la soluzione, meno tecnica possibile. Per prima cosa calcoliamo quanti sono i casi totali: lanciando un dado abbiamo 6 possibilità, lanciandone due ne abbiamo 6×6=36, lanciandone 3 ne abbiamo 6x6x6=216 e così via fino a lanciarne 8 con 6x6x6x6x6x6x6x6=68=1.679.616 casi. Ora consideriamo quanti di questi casi non hanno neanche un 1: lanciando un dado abbiamo 5 casi (su 6 totali) senza 1; lanciandone due abbiamo 5×5=25 casi (su 36 totali) senza 1; e così via fino a 8 dadi in cui abbiamo 58=390.625 casi senza 1. Ora consideriamo i casi in cui c’è un solo 1; preso un 1 (che però può esserci in 8 diversi dadi, quindi 8 volte), gli altri 7 dadi devono non avere l’1: dunque i casi totali sono 8×57=625.000. Quindi se dai casi totali togliamo i casi con zero 1 e un 1 abbiamo i casi con almeno due 1, che sono quelli che cercavamo: 1.679.616-390.625-625.000=663.991, pari ad una percentuale del 39,53%. Con ragionamenti analoghi è possibile calcolare le percentuali che ci siano esattamente due 1 o tre 1 e così via. La prossima settimana vi prometto notizie che non vi facciano venire il mal di testa.

“2048”

Di 2048 si è scritto tanto: per esempio che Gabriele Cirulli, il giovane friulano che l’ha proposto open source, si è ispirato a prodotti già esistenti (cosa che del resto lui stesso dichiara); poi che esisterebbero giochi simili strategicamente migliori, eccetera eccetera.
Per chi vuol sapere tutta la storia basta consultare Wikipedia.
Fatto sta che 2048 ha attecchito e milioni di persone l’hanno giocato e lo giocano.
E l’ho giocato anch’io, con una certa soddisfazione e pure una leggera vertigine di “addiction”.
Il gioco va per potenze di 2, nello schema compare ad ogni mossa un nuovo 2 (in posizione imprevedibile) e qualche volta un nuovo 4. Poi mano a mano che due numeri uguali si toccano, si fondono nella loro somma, cioè nella successiva potenza di 2. Due 2 diventano un 4 (22); due 4 diventano un 8 (23); due 8 diventano un 16 (24) e così via fino a raggiungere lo scopo del gioco, cioè 2048, che altro non è che 211.
Ma in realtà il 2048 l’ho raggiunto subito, fin dai primi tentativi e non min era sembrato particolarmente difficile e quindi non mi aveva dato particolare soddisfazione. E così sono andato avanti, raggiungendo prima 4096 (212) e poi anche 8192 (213).
A questo punto sì che il gioco si faceva difficile: fino a dove si sarebbe potuti arrivare?
Però con numeri così alti nello schema subentrava un altro tipo di frustrazione, bastava un 2 che compariva nella casella sbagliata per scombinare tutto e vanificare magari un’ora di “lavoro”, o magari bastava anche un tocco impreciso nello screen perché l’iphone mandasse tutti i numeri in una direzione diversa dalla voluta e, di nuovo, si rovinasse irreversibilmente la partita.
Dunque?
Come raggiungere i limiti teorici? E anzi, quali sono i limiti teorici?
Una prima risposta potrebbe essere 216 (vale a dire 65536), dato che le caselle sono proprio 16; anzi si potrebbe riempire tutto lo schema con le potenze crescenti di 2, cioè 2 nella prima casella, 4 nella seconda, poi via via 8, 16, 32… fino a 65536.
Praticamente impossibile.
Però poi ho trovato in internet una versione con la funzione “undo”, che permette cioè la cancellazione della mossa effettuata, se le conseguenze non sono quelle programmate, per esempio se il nuovo 2 compare in posizione sbagliata: semplicemente si cancella e si rifà la mossa. Di nuovo in posizione sbagliata? Si cancella ancora e si rifà.
Uhm… forse così sì che si potrebbe arrivare ai limiti teorici! Ma che lavoro lunghissimo!
E poi, a questo punto, non si potrebbero ancora espandere i limiti teorici? Eh sì, perché se nell’ultima casella compare un 4 anziché un 2 possiamo risalire tutte le 16 caselle fino ad arrivare a 217, nientepopodimeno che 131072! E magari poi riempire tutte le caselle partendo da 22 per arrivare fino, appunto, a 217.
La cosa mi ha ingolosito e l’impresa si è rivelata davvero impegnativa. Malgrado l’undo mi sono trovato a superare passaggi impegnativissimi… insomma una vera sfida, come piace a me. Ci ho messo più di un mese, con circa 150.000 tocchi di schermo (anche considerando 1 secondo a tocco sono 40 ore abbondanti). Ma alla fine ci sono riuscito, non so quanti altri pazzoidi come me abbiano scalato questa montagna, so che raggiunta la vetta, per un attimo, ho avuto un lieve senso di astinenza… e adesso?
Ecco comunque il print screen col risultato delle mie fatiche.
Vabbè dai, non internatemi in manicomio… prometto che non lo faccio più!
In realtà mentre giocavo non ho tenuto conto dello score, ma solo della configurazione finale, quindi – a parità di configurazione – sarebbero teoricamente possibili score leggermente superiori, assumendo che compaiano sempre 2 e mai 4 se non nelle poche volte (credo siano 16 in tutto) in cui il 4 è indispensabile per completare il gioco.
Una veloce ricerca in internet mi ha portato a trovare presunti “record del mondo”con punteggi inferiori al mio (che è stato di 3.885.680).

Dario