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Games and Mathematics

GAMES AND MATHEMATICS

“THE RUIN OF THE PLAYER THEOREM”

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Giochiamo di 1.000 lire a “testa e croce”: chi indovina ne intasca 2.000. Il gioco è equo: l’intero ammontare delle giocate viene ridistribuito. Ma i giochi d’azzardo non sempre sono equi: chi li organizza deve pur avere il suo tornaconto. Il problema è quanto. Uno dei più equi è certamente la roulette; il banco si tiene soltanto una commissione che non supera mai il 2,7%: ad esempio vincendo un pieno SI riceve 35 volte la posta anziché 36. In sostanza per ogni 1.000 lire puntate ne vengono rimesse in gioco ben 973. Ma com’è allora che alla roulette ci si può rovinare? La risposta concerne l’accanimento al gioco e la disponibilità economica dei giocatori. Poi vedremo. Ora veniamo al lotto, che assomiglia più ad una truffa che ad un gioco. L’appellativo di “tassa sull’ignoranza” se l’è meritato perché l’“iniquità” varia da puntata a puntata e i più “ignoranti” possono scegliere combinazioni più svantaggiose. Vediamo per ogni 1.000 lire giocate quante lo stato biscazziere ne restituisce in alcune combinazioni: estratto semplice con un numero = 680; ambo con 2 numeri = 628; terno con 3 numeri = 346; quaterna con 4 numeri = 157; cinquina con 5 numeri = 23. Non è un errore di stampa! Su 1.000 lire per una cinquina ne ritornano ventitre! Come giocare così a testa e croce: se perdete, perdete 1.000 lire, se vincete, vincete 23 lire. Giochereste a queste condizioni? Per fortuna conoscendo il gioco e scegliendo oculatamente puntate più complesse, è possibile ridurre sensibilmente il vantaggio del banco: meglio però affidarsi ai programmi per PC anziché ai numeri “sognati”! Partendo da questi argomenti Paolo Garbolino nel suo I giochi d’azzardo (Il saggiatore, Due Punti, Milano, 1998, pp.126) arriva a considerazioni ben più profonde. Con tutto il suo rigore di logico e filosofo della scienza, Garbolino svela i meccanismi e i teoremi del ragionamento probabilistico e ci aiuta a decidere quali siano le azioni più vantaggiose, anche nella vita di tutti i giorni.
Torniamo alla domanda : se la roulette è equa come può diventare la rovina di molti? Garbolino dice che è per il Teorema della rovina del giocatore, che dimostra come il giocatore più ricco abbia maggiori probabilità di mandare sul lastrico il più povero. Illuminante l’esempio del gioco equo di testa e croce. Si puntano 1.000 lire alla volta, il giocatore A dispone complessivamente di 2.000 lire ed il giocatore B di 3.000 lire; la partita va avanti fino a che uno dei due perde tutto. È facile dimostrare che il 60% delle volte è B (il giocatore più ricco) ad intascare tutte le 5.000 lire. A maggior ragione ciò vale per i giochi sbilanciati a favore del più ricco (il banco) e ancora di più quando il giocatore ricco è molto più ricco dell’altro. Esistono però persone ricchissime che potrebbero facilmente tener testa ad un Casinò, ma i Casinò si tutelano fissando un tetto massimo alle puntate. In sostanza ad ogni singola puntata il giocatore subisce uno sfavore di probabilità del tutto ragionevole, ma è l’accanimento che porta ai limiti delle proprie disponibilità. Le grandi passioni hanno sempre ispirato grandi autori, e la passione per il gioco d’azzardo non fa eccezione; sul tema sono stati scritti veri capolavori della letteratura; il più noto è Il giocatore, un romanzo largamente autobiografico che Dostoevskij ha scritto nel periodo più disperato della sua vita: l’abbandonarsi incondizionatamente alle passioni (amorose e per il gioco) diventa nella vicenda la massima forma di autorealizzazione. Molto intrigante anche Il giocatore fortunato, un racconto breve in cui Hoffmann erge la “Fortuna” e il suo mutare a protagonista assoluto: è il gioco che simboleggia lo scontro fra destino e libero arbitrio.

“MARIENBAD”

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Il film L’anno scorso a Marienbad per la regia di Alain Resnais fu Leone d’oro a Venezia nel 1961 e narra del dramma dell’incomunicabilità. Varie sequenze sono dedicate ad un gioco per due persone che si fa con i fiammiferi. Chi lo propone (Giorgio Albertazzi) vince sempre e gli avversari non sanno darsene ragione. Si tratta del Nim, oggi noto anche come Marienbad, proprio in seguito al film. Varie file di fiammiferi stanno una sotto l’altra; lo schema classico (proposto anche nel film) è composto da quattro file, una di 7, una di 5, una di 3 e una di un fiammifero.

A turno i giocatori prelevano uno o più fiammiferi da una stessa fila: chi prende l’ultimo fiammifero vince la partita. (Si può anche giocare al contrario: chi prende l’ultimo fiammifero perde.) Dopo poche partite ci si accorge che si possono raggiungere alcune configurazioni vincenti; se ad es. dopo una mossa si lasciano all’avversario 2 file da 2 fiammiferi, si ha vinto (provate!). Un’altra configurazione vincente è 1 fiammifero su una fila, 2 su un’altra e 3 su una terza.

Naturalmente al posto dei fiammiferi si può usare qualsiasi altro oggetto (ad esempio monete) e si può giocare con un qualunque numero di file, composte da un qualunque numero di oggetti. Ad esempio una configurazione “classica” è quella a “3, 4 e 5”

Il primo giocatore vince sempre se alla prima mossa prende due fiammiferi dalla riga superiore e in seguito gioca razionalmente.
La “soluzione” generale del gioco fu scoperta nel secolo scorso e la prima trattazione matematica fu fatta nel 1910 all’università di Harward dal Prof. Bouton, che diede anche il nome di Nim al gioco (in arabo arcaico Nim significa “portar via”). Il numero di fiammiferi di ogni fila viene scritto in notazione binaria (mi perdonino coloro che non ne hanno familiarità): se ognuna delle colonne formate dai numeri in notazione binaria dà per totale un numero pari (o zero) la posizione è vincente. Consideriamo ad esempio la citata posizione 1-2-3: in notazione binaria l’1 è 1, il 2 è 10 e il 3 è 11. Mettendo in colonna e sommando 1, 10 e 11 otteniamo 22, cioè tutte e 2 le cifre sono pari e la posizione è vincente.

1 = 1
2 = 10
3 = 11
__
22

Applichiamo ora l’analisi binaria al Nim a “3, 4 e 5”

3 = 11
4 = 100
5 = 101
___
212

La colonna intermedia ha come totale 1 e la posizione deve essere resa “vincente” rendendola pari, cioè togliendo come detto 2 fiammiferi dalla prima colonna.
Sembra difficile ma con un po’ di pratica anche l’analisi di posizioni ben più complesse, può diventare accessibile. E’ stato infatti dimostrato che, data una qualunque situazione, esiste sempre almeno una mossa che la può trasformare in una posizione vincente.

“DICE AND PROBABILITY”

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La Teoria delle Probabilità è nata per risolvere giochi aleatori.
IL DOPPIO 1 TIRANDO 8 DADI
Gli studi di Pascal e Fermat
Polterdice è un gioco di Spartaco Albertarelli edito da Kidult Games. Uno dei meccanismi principali consiste nel lancio contemporaneo di 8 dadi e nell’uscita o meno di almeno due 1 (cioè che tra gli otto esiti almeno due siano 1). Il calcolo non solo è importante per determinare la corretta strategia di gioco, ma è anche secondo me divertente di per sé. E del resto il calcolo delle probabilità nasce proprio dai tentativi di soluzione di giochi aleatori. In particolare nel 1654 Blaise Pascal si imbatté in un problema per certi versi molto simile a quello citato, e cioè: “Gettando un dado 8 volte, un giocatore deve tentare di fare 1, ma dopo 3 tentativi non riusciti il gioco viene interrotto. In che misura ha diritto alla posta?” Pascal ne scrisse a Pierre de Fermat e quella corrispondenza fra i due grandi matematici (e non solo) è considerata, precedenti ricerche di Gerolamo Cardano a parte, l’inizio della moderna Teoria delle Probabilità; e la prima sistematizzazione è del 1657, opera di Christiaan Huygens col suo trattatelo “De ratiociniis in ludo aleae” (Sui ragionamenti nel giuoco dei dadi). Insomma probabilità e gioco sono connessi indissolubilmente.
Ma torniamo al problema che vi avevo proposto: quali sono le probabilità che lanciando 8 dadi ci siano almeno due 1? Ci siete riusciti? Eccovi comunque la soluzione, meno tecnica possibile. Per prima cosa calcoliamo quanti sono i casi totali: lanciando un dado abbiamo 6 possibilità, lanciandone due ne abbiamo 6×6=36, lanciandone 3 ne abbiamo 6x6x6=216 e così via fino a lanciarne 8 con 6x6x6x6x6x6x6x6=68=1.679.616 casi. Ora consideriamo quanti di questi casi non hanno neanche un 1: lanciando un dado abbiamo 5 casi (su 6 totali) senza 1; lanciandone due abbiamo 5×5=25 casi (su 36 totali) senza 1; e così via fino a 8 dadi in cui abbiamo 58=390.625 casi senza 1. Ora consideriamo i casi in cui c’è un solo 1; preso un 1 (che però può esserci in 8 diversi dadi, quindi 8 volte), gli altri 7 dadi devono non avere l’1: dunque i casi totali sono 8×57=625.000. Quindi se dai casi totali togliamo i casi con zero 1 e un 1 abbiamo i casi con almeno due 1, che sono quelli che cercavamo: 1.679.616-390.625-625.000=663.991, pari ad una percentuale del 39,53%. Con ragionamenti analoghi è possibile calcolare le percentuali che ci siano esattamente due 1 o tre 1 e così via. La prossima settimana vi prometto notizie che non vi facciano venire il mal di testa.

“2048”

We have heard a lot about the game 2048: for example that Gabriele Cirulli, who suggested it in open source, got inspired from already existing products (which he declares openly); then that there are similar games, strategically better and so on.
Whoever wishes to know more about it can find information on Wikipedia.
Well, 2048 is very popular, a lot of people have played it and love it.

I played it too, having a lot of fun and even a light feeling of “addiction” to it.
The game goes on with multiple numbers of 2: the grid, by each move, shows another 2 (in an unpredictible position) and sometimes  a 4. When two identical numbers touch each other they sum together. For example two 2s become a 4 (22); two 4s become a 8 (23); two 8s become a 16 (24) and so on until the goal of the game which is 2048 (211).

I reached 2048 imediately, and I found the game rather easy. So I went on reaching 4096 (212) and then also 8192 (213).
At this point the game became challenging: until where could I arrive?
With such high numbers there was another kind of frustration: a 2 that compared in the wrong place was going to ruin an hour of “work”, or a wrong touch of the screen on the smartphone was sending the numbers to the undesired side.
Well?

How to reach the theorical limits? And what are these limits?
A first answer could be 216 (65536), since the squares are 16; one could fill in all the squares with the powers of 2, so 2 in the first square, then 4 in the second, then 8, 16, 32… until 65536.
Almost impossible.
But then I found a version on internet with the function “undo”, so you can go back to the previous move: you simply cancel the move and to it again. Uhm… in that way I guess one could reach the theorical limits! But what a long work!

And then, at that point, could one go even further? Oh yes, becuase, if in the last square instead of a 2 you get a 4 you can move on on all the 16 squares reaching 217, which would be 131072!
This was a big challange and I wanted to reach this goal. Even having the “undo” function I had to front very difficult passages… I loved this challange. I had  a month doing it, with something like 150.000 touches on the screen (considering one second for each touch it would be more than 40 hours). But at the end I reached my goal! I don’t know who tryed this crazy feat, but once I reached the top I got a little sense of abstinence… what to do now?

So, here below the print screen of my result.
Ok, ok, don’t put me in a mental hospital… I won’t do it again!
I only cared about the final configuration and not about the score, then I realized that it would have been possible to have a little bit higher score, caring not to use any 4s during the game, except the 16 which really are necessary to complete the game.
Anyway I read someone claiming the “world record” with a score lower than mine (which, btw, was 3.885.680).

Dario