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GAMES AND MATHEMATICS

"MARIENBAD"

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Il film L'anno scorso a Marienbad per la regia di Alain Resnais fu Leone d'oro a Venezia nel 1961 e narra del dramma dell'incomunicabilità. Varie sequenze sono dedicate ad un gioco per due persone che si fa con i fiammiferi. Chi lo propone (Giorgio Albertazzi) vince sempre e gli avversari non sanno darsene ragione. Si tratta del Nim, oggi noto anche come Marienbad, proprio in seguito al film. Varie file di fiammiferi stanno una sotto l'altra; lo schema classico (proposto anche nel film) è composto da quattro file, una di 7, una di 5, una di 3 e una di un fiammifero.

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A turno i giocatori prelevano uno o più fiammiferi da una stessa fila: chi prende l'ultimo fiammifero vince la partita. (Si può anche giocare al contrario: chi prende l'ultimo fiammifero perde.) Dopo poche partite ci si accorge che si possono raggiungere alcune configurazioni vincenti; se ad es. dopo una mossa si lasciano all'avversario 2 file da 2 fiammiferi, si ha vinto (provate!). Un'altra configurazione vincente è 1 fiammifero su una fila, 2 su un'altra e 3 su una terza.

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Naturalmente al posto dei fiammiferi si può usare qualsiasi altro oggetto (ad esempio monete) e si può giocare con un qualunque numero di file, composte da un qualunque numero di oggetti. Ad esempio una configurazione "classica" è quella a "3, 4 e 5"

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Il primo giocatore vince sempre se alla prima mossa prende due fiammiferi dalla riga superiore e in seguito gioca razionalmente.
La "soluzione" generale del gioco fu scoperta nel secolo scorso e la prima trattazione matematica fu fatta nel 1910 all'università di Harward dal Prof. Bouton, che diede anche il nome di Nim al gioco (in arabo arcaico Nim significa "portar via"). Il numero di fiammiferi di ogni fila viene scritto in notazione binaria (mi perdonino coloro che non ne hanno familiarità): se ognuna delle colonne formate dai numeri in notazione binaria dà per totale un numero pari (o zero) la posizione è vincente. Consideriamo ad esempio la citata posizione 1-2-3: in notazione binaria l'1 è 1, il 2 è 10 e il 3 è 11. Mettendo in colonna e sommando 1, 10 e 11 otteniamo 22, cioè tutte e 2 le cifre sono pari e la posizione è vincente.

1    =     1
2    =    10
3    =    11
        __
        22

Applichiamo ora l'analisi binaria al Nim a "3, 4 e 5"


3    =     11
4    =    100
5    =    101
        ___
        212

La colonna intermedia ha come totale 1 e la posizione deve essere resa "vincente" rendendola pari, cioè togliendo come detto 2 fiammiferi dalla prima colonna.
Sembra difficile ma con un po' di pratica anche l'analisi di posizioni ben più complesse, può diventare accessibile. E' stato infatti dimostrato che, data una qualunque situazione, esiste sempre almeno una mossa che la può trasformare in una posizione vincente.