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GAMES AND MATHEMATICS

"DICE AND PROBABILITY"

 
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La Teoria delle Probabilità è nata per risolvere giochi aleatori.
IL DOPPIO 1 TIRANDO 8 DADI
Gli studi di Pascal e Fermat

Polterdice è un gioco di Spartaco Albertarelli edito da Kidult Games. Uno dei meccanismi principali consiste nel lancio contemporaneo di 8 dadi e nell’uscita o meno di almeno due 1 (cioè che tra gli otto esiti almeno due siano 1). Il calcolo non solo è importante per determinare la corretta strategia di gioco, ma è anche secondo me divertente di per sé. E del resto il calcolo delle probabilità nasce proprio dai tentativi di soluzione di giochi aleatori. In particolare nel 1654 Blaise Pascal si imbatté in un problema per certi versi molto simile a quello citato, e cioè: “Gettando un dado 8 volte, un giocatore deve tentare di fare 1, ma dopo 3 tentativi non riusciti il gioco viene interrotto. In che misura ha diritto alla posta?” Pascal ne scrisse a Pierre de Fermat e quella corrispondenza fra i due grandi matematici (e non solo) è considerata, precedenti ricerche di Gerolamo Cardano a parte, l’inizio della moderna Teoria delle Probabilità; e la prima sistematizzazione è del 1657, opera di Christiaan Huygens col suo trattatelo “De ratiociniis in ludo aleae” (Sui ragionamenti nel giuoco dei dadi). Insomma probabilità e gioco sono connessi indissolubilmente.
Ma torniamo al problema che vi avevo proposto: quali sono le probabilità che lanciando 8 dadi ci siano almeno due 1? Ci siete riusciti? Eccovi comunque la soluzione, meno tecnica possibile. Per prima cosa calcoliamo quanti sono i casi totali: lanciando un dado abbiamo 6 possibilità, lanciandone due ne abbiamo 6x6=36, lanciandone 3 ne abbiamo 6x6x6=216 e così via fino a lanciarne 8 con 6x6x6x6x6x6x6x6=68=1.679.616 casi. Ora consideriamo quanti di questi casi non hanno neanche un 1: lanciando un dado abbiamo 5 casi (su 6 totali) senza 1; lanciandone due abbiamo 5x5=25 casi (su 36 totali) senza 1; e così via fino a 8 dadi in cui abbiamo 58=390.625 casi senza 1. Ora consideriamo i casi in cui c’è un solo 1; preso un 1 (che però può esserci in 8 diversi dadi, quindi 8 volte), gli altri 7 dadi devono non avere l’1: dunque i casi totali sono 8x57=625.000. Quindi se dai casi totali togliamo i casi con zero 1 e un 1 abbiamo i casi con almeno due 1, che sono quelli che cercavamo: 1.679.616-390.625-625.000=663.991, pari ad una percentuale del 39,53%. Con ragionamenti analoghi è possibile calcolare le percentuali che ci siano esattamente due 1 o tre 1 e così via. La prossima settimana vi prometto notizie che non vi facciano venire il mal di testa.